Podijeli sto hljebova na deset ljudi među kojima su kormilar, predradnik i vratar, koji dobivaju dvostruku porciju. Koliko tko dobiva? (Rhindov papirus, Egipat, 1650. pr. Kr.) - Josip put od kuće do dućana prevali 4 puta brže na biciklu negoli pješice. Ako u dućan dođe biciklom i vrati se doma pješice za ukupno 20 minuta, u kojem bi vremenu prevalio isti put da je u oba smjera išao biciklom? (www.halapa.com, Hrvatska, 2015. po Kr.)
Neki čovjek ima četiri vjerovnika. Prvome je dužan 624 dukata, drugome 546, trećemu 492, a četvrtom 368. Dužnik je bankrotirao i pobjegao. Vjerovnici su ustanovili da njegova imovina iznosi ukupno 830 dukata. U kojem je omjeru moraju podijeliti, i koliko će svaki od njih dobiti?
Ovo je jedan matematički zadatak iz doba renesanse (u Evropi). Razmišljam o njemu, o školi i o Toniju Milunu. Sjetit ćete se: Toni Milun profesor je matematike koji, zajedno s prijateljima, u slobodno dostupnim video-snimkama na Internetu objašnjava onu matematiku koja bi se trebala učiti u školi – trebala bi, ali se, po svemu sudeći, ne uči. "Matematika je bauk", "Molim, pomozite!". Uz, naravno, "Poduku iz matematike za srednjoškolce i studente, te pripremu za državnu maturu daje profesorica matematike s dugogodišnjim iskustvom" (Milunova su video-predavanja na Internetu besplatna).
Shizofreni puž Puž se penje po stupu visokom 10 metara. Danju se popne 5 m, a noću se spusti 4 m. Koliko mu dana treba da se popne na vrh stupa? - (a) 6, (b) 7, (c) 8, (d) 9.
Ovaj zadatak nije renesansni. To je zadatak iz zbirke "zabavna matematika", odjeljak "Tko želi biti matkaš-odlikaš???" (na internetskoj su stranici, baš tako, ni manje ni više nego tri upitnika). U shizofrenom – ili pogrešno programiranom – pužu ima nešto šarma, ali imam jak dojam da je taj zadatak drugačiji od renesansnog. Ne samo zbog "trika" koji mu je okosnica (točno je rješenje, inače, ono pod a).
U sredini ribnjaka od deset kvadratnih stopa raste trstika koja viri jednu stopu iz vode. Kad je povučemo dolje segne točno do ruba ribnjaka. Koliko je dubok ribnjak?
U nekom jezeru punom crvenih gusaka vidjeli su vrh lotosova pupoljka kako viri pedalj iznad površine vode. Počeo je puhati vjetar i gurati pupoljak naprijed; potonuo je na daljini od dva lakta. Brzo izračunaj, matematičaru, dubinu jezera. (Dva pedlja čine jedan lakat.)
Prvi iz para zadataka potječe iz kineske zbirke Devet poglavlja o matematičkom umijeću (Jiuzhang Suanshu), jednog od najranijih kineskih matematičkih udžbenika; zadaci su nastajali između 10. i 2. stoljeća p. n. e, a konačan je oblik zbirka dobila u 2. st. n. e. Drugi je iz djela Lilavati, indijskog matematičara Bhaskare (1114.-1185.).
Može se činiti da su Jiuzhang Suanshu i Lilavati sličniji shizofrenom pužu nego renesansnom dužniku u bijegu. Zapravo nije tako.
Banke i švicarci Toni Milun, osim što pomaže đacima da nauče ono što su trebali naučiti u školi, nedavno je – krajem siječnja ove godine – nizom video-predavanja “Banke i švicarci” upozorio hrvatsku javnost na nedostatnu razinu matematičke pismenosti onih radnika u bankama koji bi građane trebali savjetovati prilikom ugovaranja kredita. Milun pripovijeda (naći ćete to na www.tonimilun.com) kako je obišao dvanaest poslovnica različitih banaka postavljajući elementarna pitanja vezana uz način obračunavanja kamata na tekućem računu i kod stambenih kredita – pitanja kakva bi "trebao znati svaki učenik ekonomske škole i svaki student ekonomije" – ali na neka je od pitanja znao odgovoriti samo jedan radnik, ali većina radnika većinu odgovora nije znala, ali neki su se žalili da ih "gnjavi s matematikom" (molio ih je i da mu izračunaju primjer kamate, ako ode u minus na nekoliko dana), a neki su mu čak i davali pogrešne informacije: nisu odgovarali na ono što ih je pitao, nego su govorili o nečemu drugom. "To je opasno", zaključio je Toni Milun na videu. I sasvim je u pravu.
Uzdržavana stavka Sve je to lijepo, reći ćete, ali kakva je veza renesansnih vjerovnika, puževa i lotosa s financijskom pismenošću bankovnih službenika? Natjeramo li sve tete u Zagrebačkoj banci da računaju koliko je dubok ribnjak iz Jiuzhang Suanshua – kako će nam to pomoći? Put je, priznajem, vijugav, ali postoji. Za mene, filologa, on vodi kroz jezik i priču (sigurno je posve moguće točku A i točku B povezati i na druge načine, to ću prepustiti vama).
Renesansni zadatak o odbjeglom dužniku gađa ravno u srce problema. Odbjegli je dužnik crtica iz poslovnog života, i time jasno govori: "Matematika će vam trebati u karijeri, svi ćete se naći u ovakvim situacijama." Ali odbjegli je dužnik i mala drama, i zato privlači – zato nas potiče da ga riješimo. Odbjegli dužnik, to nije kajgod. Puž koji se danju penje, a noću spušta – to, recimo, nije drama (osim možda beketovska) i ima tek nominalne veze s nečim konkretnim (recimo, ako imate prirodopisnih sklonosti, i ako ste spremni povjerovati da se puževi stvarno tako ponašaju).
Kad dajemo svojoj djeci da računaju put puževa, da dijele bombone i raspoređuju učenike u razredu, ili da prema prosječnoj zaradi od kino ulaznica određuju broj prodanih za odrasle (skupljih), i za djecu (jeftinijih), ili da kalkuliraju masu veće i manje kruške i broj kišnih kapi u posudi oblika kocke (ne šalim se, takav zadatak zbilja postoji) – poručujemo im ili "matematikom se računaju nevažne stvari" (nevažne na isti način kao što je nevažan položaj djeteta u modernoj obiteljskoj ekonomiji, djeteta koje može biti samo potrošač, samo uzdržavana stavka) – ili "matematici nije važno što se računa" (euri ili kišne kapi, to je nama sve svejedno).
Požar strasti Potonje je, naravno, donekle istinito. Istinski napredak u matematici događa se tek nakon apstrakcije, tek nakon što pravokutne trokute počnemo vidjeti posvuda, pa i u stabljici lopoča koja tone pod vodu. Može se reći i da svaka nova generacija matematičara zapravo dodaje svoj sloj apstrakcije na one već postojeće.
No može se reći i da je napredak u matematici bitan ponajprije matematičarima, onima koji prirodno svuda oko sebe vide pravokutne trokute, koji će s jednakom strašću izračunavati broj bombona i utjecaj Euribora na kamate (slično kao što su filolozi oni koji prirodno uočavaju jezične podudarnosti, jezične nijanse i jezične razlike, i takve ih sitnice – na koje normalni ljudi ni u snu ne bi trošili vrijeme – bacaju u požar strasti).
Filolozi i matematičari su, međutim, stručnjaci. Normalnim ljudima također nasušno trebaju i jezik i matematika, ali ne onako kao što trebaju stručnjacima.
Uzastopni članovi aritmetičkog niza Gledao sam malo i pitanja na forumu Tonija Miluna i suradnika. “Lijep pozdrav, može li mi netko pomoći riješiti ovaj zadatak i malo objasniti o čemu se tu uopće radi, neke zadatke znam riješiti, a neke ne? Brojevi 1, x, y uzastopni su članovi aritmetičkog niza. Odredi x i y ako je x na kvadrat minus 2 jednako 2y.” To je nesumnjivo matematika, i nesumnjivo nadilazi razinu znanja koje mi je ostalo iz srednje škole (zadatak je iz četvrtog razreda). S druge strane, mogu sasvim dobro zamisliti odličnog učenika koji uspješno rješava ovakav zadatak – dobar dio službenika u banci, sasvim vjerojatno, čine baš takvi odlični učenici – ali svejedno digne riskantan kredit vezan uz švicarske franke, ili drugome ponudi takav kredit ne spominjući rizik, ne uviđajući uopće potrebu da rizik spomene.
Članovi aritmetičkog niza apstraktan su zadatak. Apstraktni su na onaj način kao što je za nas danas apstraktna "sva matematika": u najvećoj mogućoj mjeri. Ponekad je to, bojim se, previše.
Apstrakcija nam omogućava da radimo brzo; apstrakcija nam dozvoljava da u četiri godine pređemo ono za što je čovječanstvu trebalo četiri tisuće godina. Ali apstrakcija nam i onemogućava da probleme zapazimo.
Apstrakcija i apstrahiranje, naime, tek su dio matematičke pismenosti, kao što je dekliniranje i konjugiranje tek dio ovladavanja jezikom. Možemo istu zamku opisati i drugačije: apstrahiranje je ključan dio matematičke pismenosti. Važnost apstrahiranja dovela je, međutim, do toga da ga u modernoj nastavi matematike ima previše – i da ga, istovremeno i paradoksalno, nema dovoljno.
Ljudski privjesci Excel tablicama Apstrahiranja ima previše, jer učenicima serviramo samo apstrakcije, jer ih ničim ne potičemo da povezuju to što poučavamo sa svijetom u kojem žive – točnije, s dramatičnim i relevantnim aspektima svijeta u kojem žive (da, i s politikom: kad se Toni Milun pita "Ako ljudi čiji je posao da znaju kamatni račun to ne znaju, zašto se mene krivi ako ga ne znam?", on pokazuje koliko je malen korak od matematike do politike – čak do političke filozofije, do bolnih pitanja odgovornosti i samostalnosti). Apstrahiranja ima i premalo, jer učenicima apstrakcije serviramo ("uzastopni članovi aritmetičkog niza"), a ne tjeramo ih, ne potičemo ih, ne izazivamo ih da sami apstrahiraju. Onako kao što tjera, potiče i izaziva Bhaskara pokazujući nam svoje crvene guske.
Ono u čemu Toni Milun briljira upravo je lakoća prelaženja s apstraktne razine na konkretnu, sposobnost povezivanja školskog znanja s relevantnošću stvarnog svijeta. No, upravo sama činjenica njegova briljiranja pokazuje da mi ostali ono najvažnije, ono najdragocjenije, od svojih učenika ustrajno i pomno skrivamo. A to činimo jer tako i treba. Jer će oni koji znaju sve formule, ali ne znaju čemu služe, biti puki ljudski privjesci Excel tablicama – a privjesci su univerzalno zamjenjivi, njihovi se "troškovi rada" daju u svakom trenutku srezati. Nadalje, tako treba jer će oni koji znaju sve formule, ali ne znaju čemu služe, biti i idealno tržište za sve naše dodatne tečajeve, certifikate i sertifikate, za "permanentno obrazovanje" i komodifikaciju znanja. Napokon, tako treba jer će oni koji znaju sve formule ali ne mogu se domisliti čemu služe da ih ubiješ – jer će se takvi lako dati uvjeriti da ćemo, eto, od njihove zemlje u četiri godine napraviti Eldorado (sa sve brdima zlata), da će sve njihove brige nestati ako budu vikali "Za dom spremni", da je na bijelome svijetu glavno i jedino biti Hrvat ili Srbin, katolik ili pravoslavac, ustaša ili partizan.
A matematika, ona je bauk